AMC10经典培训教材 - 数学 (10)

基础知识

术语

百分数(percent)是一种将某个数与100进行比较的比率，也表示百分之一或“每一百”。其符号为%。

注:“percent”一词由两部分组成:per 和 cent。per 意为“除以”，cent 意为“百”。

百分数是十进制数的一种特殊形式，也是分数的一种更特殊的形式。例如， \( {50}\% = \frac{50}{100} = {0.5} \) 。

所有小数和分数的运算规则均适用于百分数。

变化百分比:一个数从 \( a \) 的值变为 \( b \) 的值，

如果 \( b > a \) ，则变化百分比(增加)为 \( \frac{b - a}{a} \times {100}\% \) 。

如果 \( b < a \) ，则变化百分比(减少)为 \( \frac{a - b}{a} \times {100}\% \) 。

涉及金钱的百分比

例1. 滑板在春季促销中降价 \( {20}\% \) ，随后又提价20%。与原价相比，新价格用哪个分数表示？

(A) \( 1/5 \) (B) \( 2/5 \) (C) \( 4/5 \) (D) \( {24}/{25} \) (E) \( 1/{25} \)

答案:(D)。

设原价为1。价格降低20%后，它

变为 \( \left( {\frac{100}{100} - \frac{20}{100}}\right) \) 。表示加价后新价格的分数

与原始版本相比， \( {20}\% \) 的 \( \left( {\frac{100}{100} - \frac{20}{100}}\right) \left( {\frac{100}{100} + \frac{20}{100}}\right) = \frac{24}{25} \) 为:

例2. 连续两次折扣 \( {20}\% \) 和 \( {10}\% \) 相当于一次性折扣:

(A) 28% (B) 15% (C) 72% (D) 30% (E) 20%

解答:(A)。

方法1:

设 \( p \) 为原价，则折扣 \( {10}\% \) 后的新价为 \( p - {0.1p} = \) \( {0.9p} \) ；再折扣 \( {20}\% \) ，得到

\( {0.9p} - {0.2} \times \left( {0.9p}\right) = {0.72p} \) .

因此净折扣为 \( p - {0.72p} = {0.28p} \) 或 \( {28}\% \) ；

方法2:净折扣 \( = d = {d}_{1} + {d}_{2} - {d}_{1} \times {d}_{2} = \frac{10}{100} + \frac{20}{100} - \frac{2}{100} = {28}\% \)

例3. 连续折扣 \( {20}\% ,{10}\% \) 和 \( {50}\% \) 相当于一次性折扣 \( t\% \) 。 \( t \) 的值是多少？(A) 36% (B) 15% (C) 72% (D) 28% (E) \( {64}\% \) 。解答:(E)。设 \( x \) 为原价，最终售价为 \( {0.8} \times {0.9} \times {0.5x} = {0.36x} \) ，一次性折扣值为 \( 1 - {0.36} = {0.64} = {64}\% \) 。

例4. 过去4年间，糖价经历了以下连续变化:第 \( {1}^{\text{st }} \) 年上涨 \( {25}\% \) ，第 \( {2}^{\text{nd }} \) 年上涨 \( {25}\% \) ，第 \( {3}^{\text{rd }} \) 年下降 \( {20}\% \) ，第 \( {4}^{\text{th }} \) 年下降 \( {10}\% \) 。今日糖价与4年前糖价的比值为多少？

(A) \( \frac{9}{8} \) (B) \( \frac{10}{9} \) (C) \( \frac{2}{1} \) (D) \( \frac{3}{2} \) (E) \( \frac{1}{1} \)

解答:(A)。

设 \( x \) 为4年前的原价，最终价格为

\( {1.25} \times {1.25} \times {0.8} \times {0.9} = {1.125x} \) .

\( \frac{1.125x}{x} = \frac{9}{8}. \)

例5. Alex以 \( \ $ {100} \) 购入一双轮滑鞋，并以10%的利润卖给Bob。Bob随后以10%的亏损卖回给Alex。Alex再以 \( \ $ {100} \) 卖给Cathy。Alex在最初的100美元上赚取的利润百分比是多少？

(A) 11% (B) 20% (C) 10% (D) 15% (E) \( {80}\% \)

解答:(A)。

差值为 \( {210} - {199} = {11} \) 。

于是Alex在原始 \( \ $ {100} \) 上获得的利润百分比为 \( {11}/{100} = {11}\% \) 。

例6.(2005 AMC 10B)Brianna用她周末打工赚的一部分钱购买几张价格相同的CD。她用她钱的五分之一买了三分之一张CD。她买完所有CD后，还会剩下她钱的几分之几？

(A) \( 1/5 \) (B) \( 1/3 \) (C) \( 2/5 \) (D) \( 2/3 \) (E) \( 4/5 \)

解答:(C)。

方法1(官方解答):

Brianna最终购买的CD数量是她已购买数量的三倍。她所有购买所需的钱占她总钱数的 \( \left( 3\right) \left( {1/5}\right) = 3/5 \) 。她将剩下的钱占 \( 1 - 3/5 = 2/5 \) 。

方法2(我们的解答):

假设Brianna有 \( \ $ {100} \) (可被5整除)，她买了30张CD(可被3整除)。

她用她钱的五分之一买了三分之一张CD。因此她用 \( \frac{1}{5} \times {100} = \ $ {20} \) 买了 \( \frac{1}{3} \times {30} = {10}\mathrm{{CD}} \) 张。

30张CD将花费 \( \ $ {60} \) 。因此她将剩下的钱占 \( \left( {{100} - {60}}\right) /{100} = \) \( {40}/{100} = 2/5 \) 。

例7. 去年John先生继承了一笔57,500美元的遗产。他为这笔遗产缴纳了20%的联邦税，又为剩余部分缴纳了10%的州税。他最终还剩下多少美元的遗产？

(A)50,000(B)52,500(D) \( \ $ {41},{400} \) (E)41,000

解答:(D)。

缴纳联邦税后，John先生还剩下他遗产的 \( {57500} \times {0.8} = {46000} \) 。

缴纳州税后，John先生还剩下他遗产的 \( {46000} \times {0.9} = {414000} \) 。

例8. 海伦比较了两家不同商店中一台新电脑的价格。商店A在标价基础上先打8折，再提供 \( \ $ {180} \) 的返现；商店B则在同一标价基础上直接打6.5折，无返现。海伦通过购买电脑节省了30美元。这台电脑的标价是多少美元？

(A) 1150 (B) 900 (C) 1000 (D) 1050 (E) 1500

答案:(C)。

设 \( x \) 为标价(sticker price)，单位为美元。Helen在商店A支付了 \( {0.8x} - {180} \) 美元，若在商店B则需支付 \( {0.65x} \) 美元。因此标价 \( x \) 满足 \( {0.8x} - {180} = {0.65x} - {30} \) ，于是 \( x = {1000} \) 。

请注意， \( {0.8x} - {180} - {30} = {0.65x} \) 会得到 \( x = {1400} \) ，而这不是答案中的选项。

例9.(2009 AMC 10 B)某年，汽油价格在1月上涨了 \( {20}\% \) ，2月下跌了20%，3月上涨了25%，随后下跌

在四月期间由 \( x\% \) 。四月底的汽油价格与之前相同

一月初的时候。四舍五入到最接近的整数， \( x \) 是多少？

(A) 12 (B) 17 (C) 20 (D) 25 (E) 35

答案:(B)。

方法1(官方解法):

令 \( p \) 表示一月初的价格。三月末的价格

是 \( \left( {1.2}\right) \left( {0.8}\right) \left( {1.25}\right) p = {1.2p} \) 。因为四月底的价格是 \( p \) ，所以

价格在四月下降了 \( {0.2p} \) ，降幅为

\( x = {100} \cdot \left( {0.2p}\right) /\left( {1.2p}\right) = {100}/6 \approx {16.7} \) .

四舍五入到最接近的整数， \( x \) 为 17。

方法2(我们的解决方案):

令 \( p \) 表示一月初的价格。

四月底的汽油价格为 \( {1.2p} \times {0.8} \times {1.25} \times \left( {1 - x}\right) = p \Rightarrow \)

\( {1.2}\left( {1 - x}\right) = 1 \Rightarrow {1.2x} = {0.2} \Rightarrow x = {0.2}/{1.2} = {0.1}\bar{6} \) .

四舍五入到最接近的整数， \( x \) 为 \( {17}\% \) 。

例10.(2012 AMC 10 B)安娜在华盛顿特区的一家餐厅享用晚餐，

当地餐食的销售税为10%。她在未加销售税的餐费基础上留下15%的小费，而税款按小费前的金额计算。她晚餐共花费 \( \ $ {27.50} \) 。不含税和小费的餐费是多少？

(A) \ $ 18 (B) \ $ 20 (C) \ $ 21 (D) \ $ 22 (E) \ $ 24

解答:(D)。

方法1(官方解答):

税率为10%，小费为15%，因此她的总费用为餐费的100%+10%+15%=125%。于是她的餐费为 \( \ $ {27.50}/{1.25} = \ $ {22} \) 。

方法2(我们的解答):

设 \( p \) 为不含税和小费的餐费。

小费为 \( {0.15}\mathrm{p} \) 。

税款为 \( {0.1p} \) 。

总费用为 \( p + {0.15p} + {0.1p} = \ $ {27.50} \) 。

解得 \( p : p = {27.50} \div \left( {1 + {0.15} + {0.1}}\right) = {22} \) 。

分数与得分

例11.(2005 AMC 10B)某次数学考试中，10%的学生得70分，25%得80分，20%得85分，15%得90分，其余得95分。本次考试的平均分与中位数之差是多少？

(A)0 (B)1 (C)2 (D)4 (E)5

解答:(B)。

方法一(官方解答):

得95分的学生百分比为

\( {100} - {10} - {25} - {20} - {15} = {30} \) ，因此本次考试的平均分为

\( {0.10}\left( {70}\right) + {0.25}\left( {80}\right) + {0.20}\left( {85}\right) + {0.15}\left( {90}\right) + {0.30}\left( {95}\right) = {86}. \)

由于不到一半的学生分数低于85，且不到一半的学生分数高于85，故中位数为85。本次考试的平均分与中位数之差为 \( {86} - {85} = 1 \) 。

方法二(我们的解答):

设学生总数为100。

学生人数1025201530

分数7080859095

总分为 \( {10} \times {70} + {25} \times {80} + {20} \times {85} + {15} \times {90} + {30} \times {95} = {8600} \) 。

本次考试的平均分为 \( {8600}/{100} = {86} \) ，中位数为85。

因此答案为 \( {86} - {85} = 1 \) 。

例12.(2014 AMC 10 A)某次代数小测中，10%的学生得70分，35%得80分，30%得90分，其余得100分。本次小测的平均分与中位数之差是多少？

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5

答案:(C)。

因为超过50%的学生得分≤90，且超过50%的学生得分≥90，所以中位数为90。平均分为

\[ \frac{10}{100} \cdot {70} + \frac{35}{100} \cdot {80} + \frac{30}{100} \cdot {90} + \frac{25}{100} \times {100} = {87}\text{for a difference of}{90} - {87} = 3\text{.} \]

方法二(我们的解法):

设学生总数为100。

学生人数 \( {10}\;{35}\;{30}\;{25}\left( {{100} - {10} - {35} - {30}}\right) \)

分数708090100

总分为 \( {10} \times {70} + {35} \times {80} + {30} \times {90} + {25} \times {100} = {8700} \) 。

本次考试的平均分为 \( {8700}/{100} = {87} \) 。

因为超过50%的学生得分≤90，且超过50%的学生得分≥90，所以中位数为90。因此答案为 \( {90} - {87} = 3 \) 。

例13.(2007 AMC 10B)某次测验中，10%的学生是三年级生，90%是四年级生。测验平均分为84。三年级生得分相同，四年级生平均分为83。问每位三年级生得了多少分？

(A) 85 (B) 88 (C) 93 (D) 94 (E) 98

答案:(C)。

方法一(官方解法):

设班级总人数为 \( N \) ，则有 \( {0.1N} \) 名三年级生和 \( {0.9N} \) 名四年级生。设每位三年级生得分为 \( s \) 。总分为 \( {84N} = {83}\left( {0.9N}\right) + \)

\( s\left( {0.1N}\right) \) ，因此 \( s = \frac{{84N} - {83}\left( {0.9N}\right) }{0.1N} = {93} \) 。

方法二(我们的解法):

我们假设该班级共有100名学生，其中10名为大三学生，90名为大四学生。

那么 \( {90} \times {83} + {10} \times x = {100} \times {84} \Rightarrow x = \left( {{8400} - {7470}}\right) \div {10} = {93} \) 。

例14.(2009 AMC 10 A)在杰斐逊夏令营中，60%的孩子踢足球，30%的孩子游泳，而踢足球的孩子中有40%也游泳。问:在不游泳的孩子中，踢足球的百分比是多少？四舍五入到最接近的整数百分比。

(A) 30% (B) 40% (C) 49% (D) 51% (E) \( {70}\% \)

解答:(D)。

方法1(官方解答):

每100名孩子中，60名踢足球，40名不踢足球。在60名踢足球的孩子中， \( {40}\% \) 即 \( {60} \times {40}/{100} = {24} \) 也游泳，因此有36名不游泳。在100名孩子中，30名游泳，70名不游泳。不游泳的孩子中踢足球的比例为 \( {36}/{70} \approx {0.51} \) ，即51%。

方法2(我们的解答):

我们假设共有100名营员。用维恩图表示，未参加任何一项活动的营员人数为 \( x \) 和 \( {100} - x = {60} + {30} - {24} = {34} \Rightarrow x = {34}. \)

因此不游泳的营员人数为 \( {34} + {36} = {70} \) 。不游泳的营员中踢足球的比例为 \( {36}/{70} \approx {0.51} \) ，即 \( {51}\% \) 。

例15.(2010 AMC 10 B)在学期初，威尔斯先生数学班的所有学生中，50%对“你喜欢数学吗”这个问题回答“是”，50%回答“否”。在学期末，70%回答“是”，30%回答“否”。总共有 \( x\% \) 的学生在学期初和学期末给出了不同的答案。 \( x \) 的最大可能值与最小可能值之差是多少？

(A) 0 (B) 20 (C) 40 (D) 60 (E) 80

解答:(D)。

方法1(官方解答):

假设威尔斯先生的班级共有100名学生。那么至少有 \( {70} - {50} = {20} \) 名学生在学期初回答“否”而在学期末回答“是”，因此 \( \mathrm{x} \geq {20} \) 。由于只有30名学生在学期末回答“否”，因此至少有 \( {50} - {30} = {20} \) 名在学期初回答“是”的学生在学期末仍回答“是”，因此 \( x \leq {80} \) 。 \( x \) 的最大可能值与最小可能值之差为 \( {80} - {20} = {60} \) 。当恰好有20名学生在学期初回答“否”而在学期末回答“是”时，最小值 \( x = \) 20出现。当恰好有20名学生在学期初和学期末都回答“是”时，最大值 \( x = {80} \) 出现。

方法2(我们的解答):

开始 结束

50 Y 70Y

50 N 30 N

我们看到回答“是”的学生人数增加了20。因此至少有20名学生改变了答案。如果20名在开始时回答“否”的学生在学年结束时回答“是”，则恰好达到这一数字。

我们得到80，这是通过以下方式得到的最大数量:

我们让最初回答“否”的50名学生在学年结束时全部回答“是”。然后让之前回答“是”的50名学生中的30名改为回答“否”。

答案是 \( \left( {{50} + {30}}\right) - {20} = {60} \) 。

例16.(2013 AMC A)在最近一场篮球比赛中，Shenille只尝试了三分球和两分球。她的三分球命中率为20%，两分球命中率为30%。Shenille共出手30次。她得了多少分？

(A)12 (B)18 (C)24 (D)30 (E)36

解答:(B)。

方法1(官方解答):

如果Shenille尝试了 \( x \) 个三分球和 \( {30} - x \) 个两分球，那么她

总共得了 \( \frac{20}{100} \cdot 3 \cdot x + \frac{30}{100} \cdot 2 \cdot \left( {{30} - x}\right) = {18} \) 分。

方法2(我们的解答):

设 \( x \) 为三分球数量， \( y \) 为两分球数量。 \( x + y = {30} \)

她得分为 \( \frac{20}{100} \cdot {3x} + \frac{30}{100} \cdot {2y} \)

\( = {0.6x} + {0.6y} = {0.6}\left( {x + y}\right) = {0.6} \times {30} = {18} \) .

其他

例17.(2004 AMC 10B)一个袋子最初只装有红色弹珠和蓝色弹珠，且蓝色多于红色。向袋中添加红色弹珠，直到袋中仅有 \( 1/3 \) 的弹珠为蓝色。然后向袋中添加黄色弹珠，直到袋中仅有 \( 1/5 \) 的弹珠为蓝色。最后，袋中蓝色弹珠的数量翻倍。现在袋中蓝色弹珠占总弹珠的几分之几？

(A) \( 1/5 \) (B) \( 1/4 \) (C) \( 1/3 \) (D) \( 2/5 \) (E) \( 1/2 \)

答案:(C)。

方法1(官方解法):

假设袋中最初有 \( \mathrm{B} \) 颗蓝色弹珠。

加入红色弹珠后，袋中弹珠总数为 \( 3\mathrm{\;B} \) 。接着加入黄色弹珠后，袋中弹珠数为5B。最后，再加入 \( B \) 颗蓝色弹珠，使得袋中共有 \( {2B} \) 颗蓝色弹珠，总弹珠数为 \( {6B} \) 。因此， \( 1/3 \) 的弹珠是蓝色的。

方法二(我们的解决方案):

设 \( r, b, y \) 分别为红色、蓝色或黄色弹珠的数量。

设 \( x \) 为添加的红色数量。

\[ \frac{b}{r + b + x} = \frac{1}{3} \Rightarrow \;{3b} = r + b + x \Rightarrow \;r + x = {2b} \]

\[ \frac{b}{r + b + x + y} = \frac{1}{5}\; \Rightarrow \;{5b} = r + b + x + y\; \Rightarrow \;r + x + y = {4b} \]

\[ \frac{2b}{r + {2b} + x + y} = \frac{2b}{{2b} + {4b}} = \frac{2b}{6b} = \frac{1}{3}. \]

例18.(2013 AMC A)一束花中有粉玫瑰、红玫瑰、粉色康乃馨和红色康乃馨。粉色花中有三分之一是玫瑰，三

红花中有四分之三是康乃馨，而全部花中有十分之六是粉色的。问康乃馨占全部花的百分之多少？

(A) 15 (B) 30 (C) 40 (D) 60 (E) 70

解:(E)。

方法1(官方解法):

因为十分之六的花是粉色的，而粉色花中有三分之二是康乃馨，所以 \( \left( {6/{10}}\right) \times \left( {2/3}\right) = 2/5 \) 的花是粉色康乃馨。

因为十分之四的花是红色的，而红色花中有四分之三是康乃馨。因此 \( \left( {4/{10}}\right) \left( {3/4}\right) = 3/{10} \) 的花是红色康乃馨。所以 \( 2/5 + \) \( 3/{10} = 7/{10} = {70}\% \) 的花是康乃馨。

方法2(我们的解决方案):

我们需要求出粉色康乃馨和红色康乃馨的总数。

由于 \( \operatorname{LCM}\left( {3,4,{10}}\right) = {60} \) ，我们假设共有60朵花。

我们知道十分之六的花是粉色的，因此粉色花的数量为 \( {60} \times \left( {6/{10}}\right) = {36} \) 。于是我们有 \( {60} - {36} = {24} \) 朵红花。

我们知道四分之三的红花是康乃馨，因此红色康乃馨的数量为 \( {24} \times \left( {3/4}\right) = {18} \) 。

我们知道三分之一的粉花是玫瑰，因此玫瑰的数量为 \( {36}/3 = {12} \) 。于是粉色康乃馨的数量为 \( {36} - {12} = {24} \) 。

答案是 \( \left( {{18} + {24}}\right) /{60} = {0.7} = {70}\% \) 。

例19. 某公司用圆柱形罐销售花生酱。市场调研表明使用较矮的罐子会提升销量。假设罐子高度减少 \( {36}\% \) 而体积不变，半径必须增加百分之多少？

(A) 25 (B) 30 (C) 20 (D) 50 (E) 22

解:(A)。

设 \( r, h \) 、 \( V \) 和 \( {0.64h} \) 分别为当前使用罐子的半径、高度和体积。新罐子的高度为 \( R \) ，体积为 \( V \) 。设为新罐子的高度，则

\[ \pi {r}^{2}h = V = \pi {\left( R\right) }^{2}\left( {0.64h}\right) ;\;\text{ so }\;\frac{R}{r} = \frac{1}{\sqrt{0.64}} = \frac{1}{0.8} = {1.25} \]

因此 \( R \) 比 \( r \) 大25%。

例20. 一盒牛奶含脂4%，该含量比全脂牛奶的含脂量低45%。全脂牛奶的含脂百分比是多少？

(A) \( {10}/3 \) (B) \( {44}/5 \) (C) \( {80}/{11} \) (D) \( 8/3 \) (E) \( {60}/7 \)

解:(C)。

设全脂牛奶含脂 \( x\% \) ，则 \( x \) 的55%等于4%。

因此 \( {0.55x} = {0.04} \Rightarrow x = {0.04}/{0.55} = {80}/{11} \) 。

例21. 若 \( a \) 比 \( c \) 大 \( {50}\% \) ，且 \( b \) 比 \( c \) 大 \( {20}\% \) ，则 \( a \) 比 \( b \) 大百分之几？

(A) 50% (B) 25% (C) 20% (D) 120% (E) 150%

解答:(B)。

若 \( a \) 比 \( c \) 大 \( {50}\% \) ，则 \( a = {1.5c} \) 。若 \( b \) 比 \( c \) 大 \( {20}\% \) ，则 \( b = {1.2c} \) 。于是 \( a/b = {1.5c}/{1.2c} = 5/4 = {1.25} \) ，且 \( a = {1.25b} \) 。因此， \( a \) 比 \( b \) 大 \( {25}\% \) 。

习题

习题1. 滑板价格春季促销降价 \( {30}\% \) ，随后再提价30%。新价是原价的多少分数？(A) \( 3/{100} \) (B) \( 9/{10} \) (C) \( {81}/{100} \) (D) 91/100 (E) \( {60}/{100} \)

习题2. 连续两次折扣 \( {20}\% \) 和 \( {20}\% \) ，相当于一次性折扣:

(A) 40% (B) 20% (C) 30% (D) 36% (E) 38%

习题3. 连续折扣 \( {30}\% ,{50}\% \) 和 \( {20}\% \) 相当于一次性折扣 \( t\% \) 。 \( t \) 的值是多少？

(A) 28% (B) 30% (C) 40% (D) 100% (E) 72%

习题4. 过去三年糖价连续变化如下:第 \( {1}^{\text{st }} \) 年上涨 \( {25}\% \) ，第 \( {2}^{\text{nd }} \) 年上涨 \( {10}\% \) ，第 \( {3}^{\text{rd }} \) 年下跌 \( {50}\% \) 。今日糖价与三年前之比是多少？

(A) \( \frac{11}{16} \) (B) \( \frac{10}{9} \) (C) \( \frac{2}{1} \) (D) \( \frac{3}{2} \) (E) \( \frac{17}{20} \)

习题5. 亚历克斯先生拥有一套价值100,000美元的房屋。他以房屋价值的 \( {10}\% \) 利润卖给鲍勃先生。鲍勃先生再以10%的亏损卖回给亚历克斯先生。则:

(A) 亚历克斯不赚不赔 (B) 亚历克斯在这笔交易中赚11,000美元

(C) 亚历克斯在这笔交易中赚 \( \ $ {10000} \) (D) 亚历克斯在这笔交易中亏9,000美元

(E) 亚历克斯在这笔交易中亏 \( \ $ {10000} \)

问题6. 一张演出票全价为40美元。史密斯用一张25%折扣的优惠券买了6张票。汤姆用一张30%折扣的优惠券买了7张票。汤姆比史密斯多付了多少美元？

(A) 12 (B) 15 (C) 16 (D) 20 (E) 25

问题7. (2001 AMC 10) 克里斯汀所在州的所得税按以下方式征收:对年收入的前 \( \ $ {28.000} \) 部分按 \( p\% \) 的税率征税，对超过 \( \ $ {28.000} \) 的部分按 \( \left( {p + 2}\right) \% \) 的税率征税。克里斯汀发现她缴纳的州所得税占其年收入的 \( \left( {p + {0.25}}\right) \% \) 。她的年收入是多少？

(A) \ $ 28000 (B) \ $ 32000 (C) \ $ 35000 (D) \ $ 42000 (E) \ $ 56000

问题8. (2009 AMC 10 A) 温家三代人一起去看电影，每代两人。最年轻的两名成员作为儿童享受 \( {50}\% \) 折扣。最年长的两名成员作为老年人享受25%折扣。中间一代的两名成员不享受折扣。温爷爷用他的老年人票价 \( \ $ {6.00} \) 为所有人买单。他需要支付多少美元？

(A) 34 (B) 36 (C) 42 (D) 46 (E) 48

问题9. 一位打算购买电器的顾客有三张优惠券，但只能使用其中一张:

优惠券1:若标价至少为 \( \ $ {100} \) ，则减价15%

优惠券2:若标价至少为 \( \ $ {200} \) ，则减价 \( \ $ {30} \)

优惠券3:对超过200美元的部分减价20%

对于以下哪个标价，优惠券1的优惠力度不会大于优惠券2或优惠券3？

(A) \ $ 279.95 (B) \ $ 399.95 (C) \ $ 800.99 (D) \ $ 739.95 (E) \ $ 659.95

问题10. 学年初，莉娅的目标是在全年60次小测中至少85%拿到A。她在前40次小测中35次拿到A。若要达成目标，她在剩余小测中最多可以有多少次成绩低于A？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

问题11. 一项民调显示，80%的选民认可市长的工作。民调员在四个不同场合各随机选取一名选民。在这四次中恰好有两次选民认可市长工作的概率是多少？

(A) 0.1063 (B) 0.1536 (C) 0.2133 (D) 0.3333 (E) 0.4411

问题12. 在Gauss高中，参加AMC10的学生人数在2010年为80人，2011年为88人，2012年为92人，2013年为98人，2014年为100人，2015年为108人。哪两个连续年份之间的百分比增幅最大？

(A) 2010年和2011年 (B) 2011年和2012年 (C) 2012年和2013年

(D) 2013年和2014年 (E) 2014年和2015年

问题13. 每天，Megan都会吃掉当天开始时罐子里30%的软糖。第二天结束时，还剩下147颗软糖。最初罐子里有多少颗软糖？

(A) 400 (B) 300 (C) 200 (D) 160 (E) 150

问题14. 一个袋子最初只装有红色弹珠和蓝色弹珠，且蓝色弹珠多于红色。向袋中添加红色弹珠，直到袋中 \( {33}\frac{1}{3}\% \) 的弹珠为蓝色。然后向袋中添加黄色弹珠，直到袋中仅有20%的弹珠为蓝色。如果红色弹珠的数量至少为10，那么有多少颗黄色弹珠？

(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 22 (E) 33

问题15. 一些男生和女生正在举办洗车活动，为一次去中国的班级旅行筹款。最初，女生占全组的35%。不久后，3名女生离开，8名男生加入，此时 \( {16}\frac{2}{3}\% \) 的组员是女生。最初组里有多少名女生？

(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 10 (E) 12

问题16. 在一批黄色、黑色和紫色的弹珠中，黄色弹珠比黑色弹珠多60%，紫色弹珠比黄色弹珠多37.5%。假设有 \( y \) 颗黄色弹珠，这批弹珠共有多少颗？

(A) 3.975y (B) \( {3y} \) (C) \( {3.475y} \) (D) \( {3.385y} \) (E) \( {4.625y} \)

问题17. (2009 AMC 10 B) 周一，Millie往鸟食器里放了一夸脱种子，其中25%是小米。接下来的每一天，她都会再添加一夸脱相同配比的种子，而不移除任何剩余的种子。每天，鸟儿只吃食器里25%的小米，但会吃掉所有其他种子。在哪一天，就在Millie刚放好种子后，鸟儿会发现食器里超过一半的种子是小米？

夸脱相同配比的种子，而不移除任何剩余的种子。每天，鸟儿只吃食器里25%的小米，但会吃掉所有其他种子。在哪一天，就在Millie刚放好种子后，鸟儿会发现食器里超过一半的种子是小米？

(A) 周二 (B) 周三 (C) 周四 (D) 周五 (E) 周六

问题18. 去年夏天，Town Lake上的鸟类中有40%是天鹅，10%是鹅，17%是鸭，33%是苍鹭。在非天鹅的鸟类中，苍鹭占百分之几？

(A) 25 (B) 35 (C) 55 (D) 60 (E) 10

问题19。一个实心长方体的尺寸为 \( {25}\mathrm{\;{cm}} \) × \( {20}\mathrm{\;{cm}} \) × \( 8\mathrm{\;{cm}} \) 。通过从该长方体的每个角移除一个边长为 \( 5\mathrm{\;{cm}} \) 的立方体，形成一个新的立体。被移除的体积占原体积的百分之多少？

(A) 45 (B) 19 (C) 22 (D) 25 (E) 24

问题20。用一加仑油漆粉刷一个房间。第一天用了 \( {33}\frac{1}{3}\% \) 的油漆。第二天用了剩余油漆的 \( {33}\frac{1}{3}\% \) 。第三天可用的原始油漆量占多少比例？

(A) \( 1/{10} \) (B) 1/9 (C) \( 1/3 \) (D) \( 4/9 \) (E) \( 5/9 \)

问题21。(2009 AMC 10 B)比60少20%的数比某个数多三分之一，这个数是多少？

(A) 16 (B) 30 (C) 32 (D) 36 (E) 48

问题22。如果 \( M \) 是 \( Q, Q \) 的 \( {30}\% \) ， \( Q, Q \) 是 \( P \) 的 \( {30}\% \) ，且 \( N \) 是 \( P \) 的 \( {15}\% \) ，那么 \( M/N = \)

(A) \( 3/4 \) (B) \( 1/3 \) (C) \( \% \) (D) \( 3/5 \) (E) \( 9/{40} \)

解答:

问题1。解答:(D)。设原价为1。价格降低10%后变为 \( \left( {\frac{100}{100} - \frac{30}{100}}\right) \) 。与原价相比，新价格经过 \( {20}\% \) 的加价后，其比例为: \( \left( {\frac{100}{100} - \frac{30}{100}}\right) \left( {\frac{100}{100} + \frac{30}{100}}\right) = \frac{91}{100} \) 。

问题2。解答:(D)。

方法1:设 \( p \) 为原价。那么 \( {20}\% \) 的折扣使新价格为 \( p \)

\( - {0.2p} = {0.8p} \) 。接着再给予 \( {20}\% \) 的折扣，我们得到

\( {0.8p} - {0.2} \times \left( {0.8p}\right) = {0.64p} \) .

因此净折扣为 \( p - {0.64p} = {0.36p} \) 或 \( {36}\% \) ；

方法2:净折扣 \( = d = {d}_{1} + {d}_{2} - {d}_{1} \times {d}_{2} = \frac{10}{100} + \frac{20}{100} - \frac{2}{100} = {28}\% \)

问题3。解答:(E)。

设 \( x \) 为原价，最终售价为 \( {0.7} \times {0.5} \times {0.8x} = {0.28x} \) 。

单次折扣金额为 \( 1 - {0.28} = {0.72} = {72}\% \) 。

问题4。解答:(A)。

设 \( x \) 为3年前的原价，最终价格为

\( \left( {1.25x}\right) \times {1.1} \times {0.5} = {0.6875x} \) .

\[ \frac{0.6875x}{x} = \frac{11}{16}. \]

问题5。解答:(B)。

\( {S}_{1} = {100},{000} + {10},{000} = {110},{000},{S}_{2} = {110},{000} - {11},{000} = {99},{000} \) ,

\( {S}_{1} - {S}_{2} = {11},{000}.\;\therefore \left( \mathrm{B}\right) \) 是正确选项。

问题6。解答:(C)。

Smith支付 \( \left( 6\right) \left( {0.75}\right) \left( {40}\right) = {180} \) 美元，Tom支付 \( \left( 7\right) \left( {0.70}\right) \left( {40}\right) = {196} \) 美元， \( \ $ 6 \) 她比Smith多支付 \( {196} - {180} = {16} \) 美元。

问题7。解答:(B)。

因为Kristin的税款超过其收入的 \( p\% \) ，所以她收入超过

\( \ $ {28},{000} \) 。假设她的年收入为 \( x \) 美元，则

\[ \frac{p}{100} \cdot {28000} + \frac{p + 2}{100} \cdot \left( {x - {28000}}\right) = \frac{p + {0.25}}{100} \cdot x \]

两边同乘100并展开得

\( {28000p} + {px} + {2x} - {28000p} - {56000} \equiv {px} + {0.25x} \)

因此 \( {1.75x} = \left( {7/4}\right) x = {56000} \) 且 \( x = {56000}/{1.75} = {32000} \) 。

问题8。解答:(B)。

文爷爷的车票价格为 \( \ $ 6 \) ，是全价的 \( 3/4 \) ，因此每张全价票为 \( \left( {4/3}\right) \times 6 = 8 \) 美元，每张儿童票为 \( \left( {1/2}\right) \times 8 = 4 \) 美元。所有车票总费用为 \( 2\left( {\ $ 6 + \ $ 8 + \ $ 4}\right) = \ $ {36} \) 。

问题9。解答:(C)。

设 \( P > {100} \) 为标价。美元降价金额如下:

优惠券1: \( {0.15P} \)

优惠券2:30

优惠券3: \( {0.2}\left( {P - {200}}\right) \)

当 \( {0.15P} < {30} \) 时，优惠券1的降价金额小于优惠券2，即 \( P < {200} \) 。当 \( {0.15P} \) \( < {0.2}\left( {P - {200}}\right) \) 时，优惠券1的降价金额小于优惠券3，即 \( P > {800} \) 。唯一满足这些不等式的选项是\ $ 800.99。

第10题。答案:(D)。

为了至少85%的小测得A，Liya需要在至少 \( \left( {0.85}\right) \left( {60}\right) = {51} \) 次小测中得A。因此，她必须在剩下的20次中至少 \( {51} - {35} = {16} \) 次得 \( \mathrm{A} \) 。所以她最多只能在剩下的4次小测中得低于A的成绩。

第11题。答案:(B)。

我们有 \( \frac{4!}{2! \times 2!} = 6 \) 种方式排列这四次回应。

(YYNN、NNYY、YNYN、YNNY、NYMY、NYYN)，其中Y表示赞成， \( \mathrm{N} \) 表示反对。概率为 \( P = 6 \times {0.8}^{2} \times {0.2}^{2} = {0.1536} \) 。第12题。答案:(A)。2010到2011年间，增幅为 \( \frac{8}{80} = \frac{1}{10} \) 。其余四组连续年份的增幅分别为

\[ \frac{4}{88} = \frac{1}{22} < \frac{1}{10},\frac{6}{92} = \frac{3}{46} < \frac{4}{40} = \frac{1}{10},\frac{4}{98} = \frac{2}{49} < \frac{4}{40} = \frac{1}{10}\text{, and}\frac{8}{100} = \frac{2}{25} < \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \]

因此，最大百分比增幅出现在2010到2011年间。

第13题。答案:(B)。

由于Megan每天吃掉当天剩余软糖的30%，每天结束时剩余70%。若 \( x \) 为最初罐中软糖数量，则 \( {.0.7}^{2}x = {147} \) 。因此 \( x = {300} \) 。

第14题。答案:(E)。

设 \( r, b, y \) 分别为红色、蓝色或黄色弹珠的数量。

设 \( x \) 为添加的红色弹珠数量。

\[ \frac{b}{r + b + x} = \frac{1}{3} \Rightarrow \;{3b} = r + b + x \Rightarrow \;r + x = b \tag{1} \]

\[ \frac{b}{r + b + x + y} = \frac{1}{5}\; \Rightarrow \;{5b} = r + b + x + y\; \Rightarrow \;r + x + y = {4b}\text{ (2) } \tag{2} \]

将(1)代入(2): \( b + y = {4b} \Rightarrow \;y = {3b} \) 。

由于蓝色弹珠比红色弹珠多，蓝色弹珠的最少数量是 \( {10} + 1 = {11} \) 。因此，黄色弹珠的最少数量是 \( 3 \times {11} = {33} \) 。

问题15。解答:(C)。

设 \( g \) 为小组中最初的女孩人数， \( b \) 为男孩人数。

\[ \frac{g}{g + b} = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}\; \Rightarrow \;{20g} = {7g} + {7b} \Rightarrow \;b = \frac{13g}{7} \tag{1} \]

\[ \frac{g - 3}{g - 3 + b + 7} = {16}\frac{2}{3}\% = \frac{1}{6} \Rightarrow {6g} - {18} = g + b + 4 \Rightarrow {5g} = b + {22} \tag{2} \]

将(1)代入(2): \( g = 7 \) 。

问题16。解答:(B)。

设 \( b, y \) 、 \( p \) 分别表示黑色、黄色和紫色弹珠的数量。

那么 \( y = {1.6b} \) 和 \( p = {1.6y} \) 。因此弹珠的总数为

\[ y + b + p = y + y/{1.6} + {1.375y} = y + {0.625y} + {1.375y} = {3y} \]

问题17。解答:(D)。

周一，第1天，鸟儿们在喂食器里发现了1夸脱小米。

周二他们找到 \( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \) 夸脱的小米。周三，即第3天，他们找到 \( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + {\left( \frac{3}{4}\right) }^{2} \cdot \frac{1}{4} \) 夸脱的小米。他们在第 \( n \) 天找到的小米夸脱数为 \( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + {\left( \frac{3}{4}\right) }^{2} \cdot \frac{1}{4} + \ldots + {\left( \frac{3}{4}\right) }^{n - 1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\left( \frac{1}{4}\right) \left( {1 - {\left( \frac{3}{4}\right) }^{n}}\right) }{1 - \frac{3}{4}} = 1 - {\left( \frac{3}{4}\right) }^{n} \) 。鸟儿们总能找到 \( 3/4 \) 夸脱的其他种子，因此当 \( 1 - {\left( 3/4\right) }^{n} > 3/4 \) 时，即 \( {\left( 3/4\right) }^{1n} < 1/4 \) 时，超过一半的种子是小米。由于 \( {\left( 3/4\right) }^{4} = {81}/{256} > \) \( 1/4 \) 且 \( {\left( 3\right) }^{5} = {243}/{1024} < 1/4 \) ，这种情况将首次出现在第5天，即周五。

问题18。解答:(C)。

因为 \( {100}\% - {40}\% = {60}\% \) 的鸟不是天鹅，且33%的鸟是苍鹭(herons)，所以

\[ \frac{h}{g + h + d} = \frac{33}{{10} + {17} + {33}} = \frac{33}{60} = {55}\% \]

问题19。解答:(D)。

2. 连比(Continued Ratio)

三个或更多数量的比称为连比(continued ratio)。例如， \( a : b : c \) 是由三个独立比 \( \Rightarrow a : b, a : c \) 和 \( b : c \) 组合而成。

(1) 若 \( a : b : c = 2 : 3 : 4 \) ，则

\[ a : b = 2 : 3, b : c = 3 : 4\text{, and}c : a = 4 : 2\text{.} \]

(2) 若 \( a : b = 2 : 3, b : c = 3 : 4 \) 且 \( c : a = 4 : 2 \) ，则

\[ a : b : c = 2 : 3 : 4, \]

(3) 若 \( a : b = 2 : 3 \) 且 \( b : c = 5 : 4 \) (注意 \( 3 \neq 5 \) )，则 \( a : b : c = \left( {2 \times 5}\right) : \left( {3 \times 5}\right) \) : \( \left( {3 \times 4}\right) = {10} : {15} : {12} \) 。

3. 比例(Proportion)

比例是两个比(ratio)的等式。例如 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) 。若已知 \( b, c \) 和 \( d \) ，或已知 \( b \) 和 \( c/d \) 的值，即可求出 \( a \) 。

比例的性质:

性质1: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) 等价于:

\( {ad} = {bc},\;\frac{a}{c} = \frac{b}{d},\;\frac{d}{b} = \frac{c}{a},\;\frac{b}{a} = \frac{d}{c}. \)